▽hiroyukikojimaの日記
●11/04 14:48
｢命題論理の完全性定理｣というのは､｢ﾄｰﾄﾛｼﾞｰは必ず証明できる｣という定理である｡もう少し詳しく説明しよう｡与えられた命題について､それを構成する命題変数にどんな真偽を割り当ててもその命題が真であるとき､その命題をﾄｰﾄﾛｼﾞｰ(恒真命題)と呼ぶ｡与えられた命題がﾄｰﾄﾛｼﾞｰであるなら､その命題は必ず､通常の(公理から出発する形式的な)推論規則によって証明できる､というものだ｡例えば､命題変数から生成される命題を考えてみる｡にどんな真偽の組み合わせ(4通り)を当てはめても､この命題は必ず真であるからﾄｰﾄﾛｼﾞｰである｡このとき､この論理式は推論規則で導出することができる｡(どのように導出されるかは､拙著『証明と論理に強くなる』で読んでくださいな)｡｢命題論理の完全性定理｣は､このようなことが一般的に成り立つことを主張している｡すなわち､｢形式的に証明できる命題は常に正しい｣だけではなく､｢常に正しい命題は､形式的に証明できる｣というわけなのだ｡前者はそんなに不思議ではない｡なぜなら､推論規則は真なる命題から真なる命題を構成するような手続きだから｡でも､後者はとても意外性のある帰結だ｡どんな真偽を当てはめても論理演算で真と評価される命題は､推論規則をつなげて証明できる､と言っているからだ｡