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    Julia で ペル方程式,Pell's equation
    2021年06月09日 | ブログラミング
    前報の無理数の連分数近似というのは,それ自体はあまりありがたいものでもない。
    しかし,ペル方程式 Pell’s equation を解くときに力を発揮する。
    ペル方程式とは,
    n を平方数ではない自然数として、未知整数 x, y について
    x^2 − n*y^2 = 1
    の形のディオファントス方程式(整係数多変数高次不定方程式)である。
    1 つの解 (x, y) が得られたとき,
    x_k + y_k √n = (x + y √n)^k
    は,全てペル方程式の解になる。
    最小解は、√n の連分数展開の結果を利用する方法がある。
    周期が m のとき,a_0, a_1, ..., a_m とすると,a_m までの近似分数を P/Q としたとき,P, Q がペル方程式の解である。
    ただし,m が奇数の場合は得られるのは x^2 − n*y^2 = −1 の解なので,それを 2 乗する。または,二倍の周期,すなわち a_2m までの近似分数 P/Q の P, Q が解である。
    function regularcontinuedfractions2(d, n=10) # n は a0 も含めた項数
    x = sqrt(d)
    v = 1
    u = a = floor(Int, x)
    an = [a]
    println(”v = $v, a = $a, u = $u”)
    for i = 1:n-1
    v2 = (d - u^2) / v
    a2 = floor(Int, (x + u) / v2)
    u2 = a2 * v2 - u
    v, a, u = v2, a2, u2
    println(”v = $v, a = $a, u = $u”)
    append!(an, a)
    end
    an
    end
    function approximation2(a)
    p0 = BigInt(a[1])
    q0 = BigInt(1)
    println(”0: $p0 / $q0 = $(p0 / q0)”)
    p1 = BigInt(a[1]*a[2] + 1)
    q1 = BigInt(a[2])
    println(”1: $p1 / $q1 = $(p1 / q1)”)
    result = [(p0, q0), (p1, q1)]
    for i = 3:length(a)
    p2 = BigInt(a[i]) * p1 + p0
    q2 = BigInt(a[i]) * q1 + q0
    println(”$(i-1): $p2 / $q2 = $(p2/q2)”)
    append!(result, [(p2, q2)])
    p0, q0, p1, q1 = p1, q1, p2, q2
    end
    result
    end
    a = regularcontinuedfractions2(61, 25);
    for i = 1:length(a)
    println(”a[$(i-1)] = $(a[(i)])”)
    end
    #=
    a[0] = 7
    a[1] = 1
    a[2] = 4
    a[3] = 3
    a[4] = 1
    a[5] = 2
    a[6] = 2
    a[7] = 1
    a[8] = 3
    a[9] = 4
    a[10] = 1
    a[11] = 14
    a[12] = 1
    a[13] = 4
    a[14] = 3
    a[15] = 1
    a[16] = 2
    a[17] = 2
    a[18] = 1
    a[19] = 3
    a[20] = 4
    a[21] = 1
    a[22] = 14
    a[23] = 1
    a[24] = 4
    =#
    周期は 11(1,4,3,1,2,2,1,3,4,1,14) で,奇数なので,a[22] までの解を用いる。
    b = approximation2(a);
    for i = 1:25
    println(”$i, $(b[i][1]), $(b[i][2]), $((b[i][1])^2 - (b[i][2])^2 * 61)”)
    end
    #=
    1, 7, 1, -12
    2, 8, 1, 3
    3, 39, 5, -4
    4, 125, 16, 9
    5, 164, 21, -5
    6, 453, 58, 5
    7, 1070, 137, -9
    8, 1523, 195, 4
    9, 5639, 722, -3
    10, 24079, 3083, 12
    11, 29718, 3805, -1
    12, 440131, 56353, 12
    13, 469849, 60158, -3
    14, 2319527, 296985, 4
    15, 7428430, 951113, -9
    16, 9747957, 1248098, 5
    17, 26924344, 3447309, -5
    18, 63596645, 8142716, 9
    19, 90520989, 11590025, -4
    20, 335159612, 42912791, 3
    21, 1431159437, 183241189, -12
    22, 1766319049, 226153980, 1
    23, 26159626123, 3349396909, -12
    24, 27925945172, 3575550889, 3
    25, 137863406811, 17651600465, -4
    =#
    a[22] までの連分数近似では,(P, Q) = (x, y) = (1766319049, 226153980)
    1766319049^2 - 61 * 226153980^2 # 1
    「x_k + y_k √n = (x + y √n)^k」というのは,単純な数値計算をするのではない。
    (x + √n * y)^2 # 1.2479531931441058e19 という1つの数になる
    (x + √n * y)^2 を数式として展開すると
    x^2 + n*y^2 + 2xy√n
    で,新たな解 x は x^2 + n*y^2,y は 2xy である。
    つまり,√n を含まない項(の和)が x,√n を含む項の係数が y ということである。
    x = 1766319049^2 + 61 * 226153980^2 # 6239765965720528801
    y = 2 * 1766319049 * 226153980 # 798920165762330040
    つまり,(x, y) = (6239765965720528801, 798920165762330040) である。
    x^2 - 61 * y^2 # 1
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    Julia で連分数展開,連分数近似
    2021年06月09日 | ブログラミング
    連分数展開とは,たとえば x の平方根を以下のような連続する分数の形式で表現することである。
    √x = a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + 1/(a3 + 1/(a4 + 1 / (a5 + ε)))))
    εはさらに 1/(a6 + 1/(a7 + 1/...)) と同じように無限に繰り返されるが,だんだんと近似に寄与する割合が小さくなるので,いつかの時点で ε = 0 とすることで近似できる。
    例えば x = 31 で a0 から a8 までを使うと,以下のような連分数による近似が得られる。
    √31 ≒ 5 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(3 + 1/(5 + 1 / (3 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(10 + 0))))))))
    = 16063 / 2885 = 5.5677642980935875
    なお,全ての分数の分子が 1 であるような場合は,正則連分数とよぶ。
    √31 の連分数展開は以下のように行われる。
    d = 31
    z = sqrt(d) # 5.5677643628300215
    1. z の整数部を取る。これが a0 である
    a0 = 5
    2. z の小数部の逆数(0.5677643628300215)をとり,新たな z とする
    z = 1 / 0.5677643628300215 # 1.7612940604716716
    3. z の整数部を取る。これが a1 である
    a1 = 1
    4. z の小数部(0.7612940604716716)の逆数をとり,新たな z とする
    z = 1 / 0.7612940604716716 # 1.3135528725660022
    この後も 3.,4. の手順を繰り返す(結局は 1. 2. でもあるが)をくりかえす。
    なお,計算の途中で z が 2. のときの z の小数部と等しくなることがある。
    そうすると,それ以降の z の整数部は以前のz の整数部の繰り返しになることになる。
    √31 の展開の場合は,5, 1, 1, 3, 5, 3, 1, 1, 10, 1, 1, 3, 5, 3, 1, 1, 10, 1, 1, ...
    のようになり,1, 1, 3, 5, 3, 1, 1, 10 が循環する。
    手順の中に 「z の小数部」が必要になるが,手順を繰り返していくと精度に問題

  7. 2021/06/08 14:28:13 サッポロ日記含むアンテナおとなりページ

    みんなのbaseballをまとめ読み

  8. 2021/04/19 17:43:47 singular point含むアンテナおとなりページ

    投稿者 flyio投稿日: 2012年6月18日2012年6月19日カテゴリー 確率・統計タグ GLM, ModelSelection, R, StatGraphic, Statisticsモデル選択の実験 (BIC を追加) への2件のコメント

  9. 2021/03/13 17:24:53 自然観察者の日常含むアンテナおとなりページ

    2021年3月13日 (土)
    河川敷の昆虫観察(2021年3月6日)
    このブログをほったらかしにしていたのには理由がないわけではない。他にももっと重要な理由はあるが、なかなか観察に出かけられないというのも一つの理由である。数年前から、2月から3月はじめにかけて、フチグロトゲエダシャクを追いかけていたが、去年やっとオス成虫を採集することによって発生地と思われる場所を...
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    «今年も二度目のフジの花(2018年7月10日)

  10. 2021/02/01 16:21:41 なんてったってダボハゼ含むアンテナおとなりページ

    「岐阜県の動物 哺乳類・爬虫類・両生類・十脚類」出版しました
    日本列島は地域ごとに特色ある自然があるわけですが,本州中央部の岐阜県において分布が確認されている哺乳類,爬虫類,両生類,十脚類の全種を紹介する図鑑『岐阜県の動物』を出版しました.
    岐阜県在住の人だけでなく,自然に興味のある全国の人に関心を持ってもらえるようにと作りました.
    もし興味のある方は是非実物をご覧いただけたら幸いです.
    岐阜大学プレスリリース(2021.1.29)
    各学部教員が連携し、岐阜県の野生の哺乳類、爬虫類、両生類、十脚類を全て掲載した図鑑を出版しました
    岐阜県内では書店以外にアクア・トトぎふなどでも販売しています.
    Amazonで購入される場合はこちらから
    その他問い合わせ先
    岐阜新聞社出版室
    https://www.gifu-np.co.jp/publish/
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